¿Por qué es tan díficil predecir el crecimiento exponencial?

En estos terribles días nos están sorprendiendo la rapidez con que se está evolucionando la pandemia. En España, si hace un par de semanas teníamos un centenar de casos confirmados (2-mar), en unos pocos días la cifra se multiplicó vertiginosamente superando los 10 000 casos (17-mar). Cuando escribo estas líneas (26-mar a media noche), la cifra ha superado los 50 000. Poca gente se imaginaba, entre los que me incluyo, la velocidad con que el virus se expande entre la población, y eso que solo podemos contabilizar los casos confirmados, ya que las estimaciones de contagiados reales son muchos más elevadas.

La causa de esta velocidad es que el crecimiento del número de contagios sigue un evolución exponencial, esto es, cada día el número de casos nuevos es igual al número de casos del día anterior multiplicado por un factor que se mantiene constante. Aunque el crecimiento exponencial es común en la naturaleza, nuestra percepción está acostumbrada a cambios lineales. Por ejemplo, cuando viajamos en un coche a velocidad constante, la distancia que recorremos se incrementa linealmente, cada segundo recorremos un número fijo de metros (v), y recorremos tanto metros como la velocidad que llevamos por el tiempo que llevamos (v*t). Si vamos a 72 km/h, nos desplazamos cada segundo 20 metros. Durante 100 segundos, recorremos 2 000 metros. Si pisamos a tope el acelerador, recorremos en mucho menos tiempo la misma distancia, ya que pasamos de un crecimiento lineal a un crecimiento cuadrático, donde la distancia recorrida depende del cuadrado del tiempo (t2). Aun así, este crecimiento es mucho más lento que el crecimiento exponencial.

expcualin_log_scale

En la gráfica anterior se muestra la evolución de tres fenómenos que crecen lineal, cuadrática, y exponencialmente. Al principio, tanto la curva lineal como la cuadrática crecen más deprisa que la exponencial (eje X, t=1 y t=2). En el cuarto segundo (t=4) ya se emparejan la curva lineal y exponencial. Y el sexto segundo (t=6) es el último en el que la curva cuadrática está por encima de la exponencial. En los siguientes instantes, la curva exponencial se aleja constantemente de las otras dos. En este ejemplo, si fueran metros lo que estuviéramos midiendo, a los 20 segundos, la curva lineal hubiera llegado a 40 metros, la curva cuadrática a 400 metros, y la curva exponencial a ¡más de medio millón!. Si fuera la propagación de distintas enfermedades lo que estuviéramos midiendo, cambiamos segundos por días, y metros por personas contagiadas, y la cabeza nos empieza a dar vueltas.

Entender la evolución de este fenómeno requiere un fuerte entrenamiento en análisis de datos, y aun así, no es fácil reconocer este tipo de crecimiento. El famoso médico y gurú de la visualización de datos, Hans Rosling, relata así su propia experiencia en su libro Factfulness1.

Como el resto del mundo, fui demasiado lento para entender la magnitud y la urgencia de la crisis del Ébola. Había asumido que el aumento de los casos era una línea recta cuando en realidad los datos mostraban claramente que era una línea exponencial. Una vez que entendí esto, actué. Pero hubiera deseado haber entendido y actuado antes.

Hans Rosling. Factfulness

A esto sesgo, Hans Rosling lo denominó el instinto lineal.

Todavía más difícil es entender y predecir la evolución de dos enfermedades que crecen exponencialmente pero a distinto ritmo. Esto lo ilustro con la siguiente gráfica que muestra la evolución en contagios del COVID-19 y la gripe, que tienen números reproductivos básicos (R0) parecidos pero que derivan en números de contagios enormemente dispares.

covid19vsflu_log_scale

Esta gráfica está sacada con datos simulados partiendo de los R0 estimados para cada enfermedad extraidos del ejemplo propuesto por Jeremy Howard y Rachel Thomas2. En la realidad este número no es fijo, sino que disminuye con el tiempo gracias a medidas como vacunas, distancia social, confinamiento… así como también baja dado que cada vez hay menos personas a contagiar. En un escenario real no tendrían por qué llegar a contagiarse medio millón de personas tan rápidamente.

Aunque nos parezca que los contagios crecen de manera indefinida (de nuevo otra variante del instinto lineal), lo cierto es que gracias a las medidas que estamos tomando la curva terminará aplanándose, y la tasa de reproducción bajará por debajo de 1, momento en el cual habremos vencido al virus.

Referencias

1 Factfulness: Diez razones por las que estamos equivocados sobre el mundo. Y por qué las cosas están mejor de lo que piensas. Hans Rosling, Ola Rosling, Anna Rosling Rönnlund

2 Covid-19, your community, and you — a data science perspective, escrito por Jeremy Howard y Rachel Thomas, y traducido al español por Leonardo González en Covid-19, su comunidad y usted: una perspectiva de ciencia de datos